分析 (1)由AB为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到∠ACB为直角,在直角三角形ABC中,利用勾股定理求出AC的长,即可求出cos∠BAC的值;
(2)由OD垂直于AC,利用垂径定理得到D为AC的中点,根据AC的长即可求出AD的长;
(3)大阴影部分面积等于扇形AOC面积减去三角形AOC面积,小阴影部分面积等于扇形BOC面积减去三角形BOC面积,即可求出较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的倍数.
解答 解:(1)∵AB为圆的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,AB=12,BC=6,
根据勾股定理得:AC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$,
则cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)∵OD⊥AC,
∴D为AC的中点,即AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$,
在Rt△AOD中,AD=3$\sqrt{3}$,AO=6,
根据勾股定理得:OD=$\sqrt{{6}^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}$=3;
(3)连接OC,如图所示,
∵在Rt△ABC中,BC=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠CAB=30°,
∴∠COB=60°,
S阴影大=S扇形AOC-S△AOC=$\frac{120π×{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=12π-9$\sqrt{3}$;S阴影小=S扇形BOC-S△BOC=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=6π-9$\sqrt{3}$,
∵(12π-9$\sqrt{3}$)÷(6π-9$\sqrt{3}$)≈6.8,
∴图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的6.8倍.
点评 此题考查了扇形面积的计算,垂径定理,以及圆周角定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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