Question

如图，AM是⊙O的直径，BC⊥AM，垂足为N，CD是弦，交AM和AB于点E、F．
①如果EN=NM，求证：CD⊥AB．
②如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE²=EF•ED．

Answer 1

分析：①连接BM，据题中条件首先证明△CEN≌△BMN，得到∠MBC=∠ECB；据圆周角性质可得∠A=∠MBC=∠ECB，再由对顶角相等∠NEC=∠AEF，可得到在△AEF和△CNE中∠ENC=∠AFE=90°，即CD⊥AB．
②连接BD、BE、AC，首先证明△ABE≌△ACE，得∠ABE=∠ACD；再证明△BED∽△FEB，可得

BE

ED

=

EF

BE

，即得到BE²=EF•ED，即CE²=EF•ED．

解答：证明：①连接BM，
∵AM是⊙O的直径，∴∠ABM=90°
∵BC⊥AM，∴BN=CN，∠ENC=∠BNM，
又EN=NM，∴Rt△CEN≌Rt△BMN，
∴∠MBC=∠ECB；
又∵BC⊥AM，∴

BM

=

MC

，∴∠A=∠MBC
∴∠A=∠EBC，
又∠NEC=∠AEF，
在△AEF和△CNE中∠ENC=∠AFE=90°，
即CD⊥AB．

②连接BD、BE、AC，
∵点E是BC垂直平分线AM上一点，
∴BE=EC；
∵CD=AB，
∴

CD

=

AB

，∴

AD

=

BC

，∴∠ACD=∠BDC，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠ABE=∠ACD=∠BDC，∠BED是公共角，
∴△BED∽△FEB，
∴BE²=EF•ED，
∴CE²=EF•ED．

点评：此题综合考查三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定与性质、圆周角定理等知识，是一个综合题，难度较大．