Question

11．已知一次函数y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}x+\sqrt{2}$的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角，求经过B，D两点的一次函数的解析式．

Answer 1

分析 由直线AB的解析式可得出点A、B的坐标，由∠BCD和∠ABD，∠D=∠D即可得出△BCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$，设点D（m，0），结合点A、B、C的坐标即可得出CD、AD、BD的长度，进而可得出关于m的方程，解方程即可求出m的值，即得出点D的坐标，再根据点B、D的坐标利用待定系数法即可求出直线BD的解析式．

解答 解：令y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}x+\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$中x=0，则y=$\sqrt{2}$，
∴B（0，$\sqrt{2}$）；
令y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}x+\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$中y=0，则x=-3，
∴A（-3，0）．
∵∠BCD和∠ABD，∠D=∠D，
∴△BCD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$．
设D（m，0），
∵A（-3，0）、B（0，$\sqrt{2}$）、C（1，0），
∴CD=m-1，AD=m+3，BD=$\sqrt{（m-0）^{2}+（0-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+{m}^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}}{m+3}=\frac{m-1}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，解得：m=$\frac{5}{2}$，
经检验m=$\frac{5}{2}$是方程$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}}{m+3}=\frac{m-1}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$的解，
∴D（$\frac{5}{2}$，0）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{5}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2\sqrt{2}}{5}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点B、D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．