Question

已知△ABC中，满足

1

tan A 2

+

1

tan C 2

=

4

tan B 2

，b=4，则a+c=

 

．

Answer 1

分析：作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OA、OB、OC平分△ABC的三个内角．根据正切函数的定义及已知条件，可得BD=1，然后根据切线长定理即可求出a+c的值．

解答：解：如图，作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则tan

B

2

=

r

BD

，tan

A

2

=

r

AF

，tan

C

2

=

r

CF

．
∵

1

tan A 2

+

1

tan C 2

=

4

tan B 2

，
∴

AF

r

+

CF

r

=

4BD

r

，
∴AF+CF=4BD，即AC=4BD，
又∵b=AC=4，
∴BD=1，
∴BE=BD=1，
∴a+c=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=b+2BD=6．
故答案为6．

点评：本题考查了三角形的内切圆的性质，正切函数的定义，切线长定理，综合性较强，有一定难度．关键是作辅助线．