Question

【题目】填空并解答相关问题：

（1）观察下列数1，3，9，27，81…，发现从第二项开始，每一项除以前一项的结果是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果an （n为正整数）表示这列数的第n项，那么an =__________；

你能求出它们的和吗？

计算方法：如果要求1+3+32+33+…+320的值，

可令S=1+3+32+33+…+320①

将①式两边同乘以3，得3S=3+32+33+…+320+321②

由②式左右两边分别减去①式左右两边，

得3S-S=（3+32+33+…+320+321）－（1+3+32+33+…+320），

即2S=321－1，两边同时除以2得.

（2）你能用类比的思想求1+6+62+63+…+6100的值吗？写出求解过程.

（3）你能用类比的思想求1+m+m2+m3+…+mn（其中mn≠0，m≠1）的值吗？写出求解过程.

Answer 1

【答案】(1) 3， an=；(2) ；(3) .

【解析】

(1) 从第二项开始，每一项除以前一项的结果是一个常数3，据此解答即可;

(2) 设可令S=1+6+62+63+…+6100，根据等式的性质，此等式的两边同时乘以6，得6S=6+62+63+…+6100+6101，两等式相减得6S-S=6101-1，解关于S的方程可求解;

(3) 设可令S=1+m+m2+m3+…+mn，根据等式的性质，此等式的两边同时乘以m，得mS=m+m2+m3+…+ mn+mn+1，两等式相减得(m-1)S=mn+1－1，解关于S的方程可求解．．

(1)从第二项开始，每一项除以前一项的结果是一个常数，这个常数是3， an=；

(2) 可令S=1+6+62+63+…+6100①

将①式两边同乘以6，得6S=6+62+63+…+6100+6101②

由②式左右两边分别减去①式左右两边，

得6S-S=（6+62+63+…+6100+3101）－（1+6+62+63+…+6100），

即5S=6101－1，两边同时除以6得.

(3) 可令S=1+m+m2+m3+…+mn①

将①式两边同乘以m，得mS=m+m2+m3+…+mn+mn+1②

由②式左右两边分别减去①式左右两边，

得mS-S=（m+m2+m3+…+mn+mn+1）－（1+m+m2+m3+…+mn），

即(m-1)S=mn+1－1，两边同时除以m得.