如图.在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG.且CD=6cm,在△ABC中:∠ACB=90°.∠BAC=30°.AB=4cm,在直角梯形DEFG中:EF∥DG.∠DGF=90°.∠EDG=60°.DG=6cm.DE=4cm．解答下列问题:(1)旋转:将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°得到对应的△1B1C.求出AB1的长度,(2)翻折:将△A1B1C沿过点B1且与l垂直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，∠EDG=60°，DG=6cm，DE=4cm．解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°得到对应的△₁B₁C，求出AB₁的长度；
（2）翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A₂B₁C₁沿直线l向右平移至△A₂B₂C₂，若设平移的距离为x（0≤x≤8），△A₂B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少？

分析（1）根据旋转的定义得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB′的长，就可以求出AB₁的长度；
（2）四边形A₂B₁DE是菱形，可以证明A₂B与DE平行且相等，得到四边形A₂B₁DE是平行四边形，又A₂B₁=B₁D=4，所以平行四边形A₂B₁DE是菱形；
（3）y等于△ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A₃B₂与DE相交时，即当2≤x＜4时：根据A₃B₂∥DE，得到则重合部分的三角形与△A₃B₂C₂相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合部分的长度，得到C₁C₂的长度，从而求出x的值；另外一种情况是当A₃B₂与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C₁C₂的长度，从而求出x的值．

解答解：（1）在△ABC中，由已知得：BC=2cm，AC=AB×cos30°=2$\sqrt{3}$cm，
∴AB₁=AC+CB₁=AC+CB=（2$\sqrt{3}$+2）cm．

（2）四边形A₂B₁DE菱形．
理由如下：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2cm，
∵∠EDG=60°，∠A₂B₁C₁=∠A₁B₁C=∠ABC=60°，
∴A₂B₁∥DE，
又∵A₂B₁=A₁B₁=AB=4cm，DE=4cm，
∴A₂B₁=DE，
∴四边形A₂B₁DE是平行四边形，
又∵A₂B₁=AB=4cm，
B₁D=CD-B₁C=6-2=4cm，
∴A₂B₁=B₁D=4cm，
∴平行四边形A₂B₁DE是菱形．

（3）由题意可知：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$cm²，
①当0≤x＜2或x≥10时，y=0，
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半；
②当2≤x＜4时，直角边B₂C₂与直角梯形的下底边DG重叠的长度为DC₂=C₁C₂-DC₁=（x-2）cm，
则y=$\frac{1}{2}$（x-2）$\sqrt{3}$（x-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²，
当y=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\sqrt{3}$时，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²=$\sqrt{3}$，解得x=2-$\sqrt{2}$（舍）或x=2+$\sqrt{2}$，
所以当x=（2+$\sqrt{2}$）cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半；
③当4cm≤x＜8cm时，△A₃B₂C₂完全与直角梯形重叠，即y=2$\sqrt{3}$cm²．
④当8cm≤x＜10cm时，B₂G=B₂C₂-GC₂=2-（x-8）=（10-x）cm，
则y=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\sqrt{3}$（10-x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x）²，
当y=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\sqrt{3}$时，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-x）²=$\sqrt{3}$，
解得x=（10-$\sqrt{2}$）cm，或x=（10+$\sqrt{2}$）cm（舍去）．
所以当x=（10-$\sqrt{2}$）cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．
由以上讨论知，当x=（2+$\sqrt{2}$）cm或x=（10-$\sqrt{2}$）cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．

点评本题是几何变换综合题，其中涉及到旋转的性质，轴对称的性质，平移的性质，解直角三角形，三角函数的定义，菱形的判定，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，难度适中．用运动变化的观点能够对x的值进行正确分类是解决第（3）问的关键．

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