Question

13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-2x+5与x轴、y轴分别交于C、D两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）交于A、B两点．
（1）若B点的横坐标为2，求k的值．
（2）设A点的横坐标为m，B点的横坐标为n，求m与n之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图2连结BO，取DO中点M，当以MO、BO、AD的长为三边构成的三角形的面积为$\frac{25}{16}$时，在y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象上是否存在一点E，连接CE，BE，使得△BCE是以C为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把点B的横坐标等于2代入直线y=-2x+5求出y的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）根据A、B两点在y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）上，可得出m（-2m+5）=n（-2n+5），由此可得出m与n之间的函数关系式；
（3）作AN⊥DO，BP⊥CO，根据D，C的坐标可得出，DO，CO的长，由M为DO中点可知MO=$\frac{5}{2}$=CO．故AN=m．由（2）得m=-n+$\frac{5}{2}$，AN=-n+$\frac{5}{2}$．再由B（n，-2n+5）可知OP=n，故可得出PC=AN，根据ASA定理得出△DNA≌△BPC，故AD=BC，求出△BOC面积的表达式，作EQ⊥x轴，同理可得△BPC≌△CQE，再求出BP，QE，OQ的长即可得出结论．

解答 解：（1）∵点B在y=-2x+5上，
∴B（2，1），
∴y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵A（m，-2m+5），B（n，-2n+5），A、B两点在y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）上，
∴m（-2m+5）=n（-2n+5），
∴-2m²+5m=-2n²+5n，即2（n²-m²）=5（n-m），即2（n-m）（n+m）=5（n-m）．
又∵n-m≠0，
∴n+m=$\frac{5}{2}$，
∴m=-n+$\frac{5}{2}$；

（3）作AN⊥DO，BP⊥CO，
∵D（0，5），C（$\frac{5}{2}$，0），
∴DO=5，C0=$\frac{5}{2}$，
∵M为DO中点，
∴MO=$\frac{5}{2}$=CO．
又∵A（m，-2m+5），
∴AN=m．
∵由（2）得m=-n+$\frac{5}{2}$，
∴AN=-n+$\frac{5}{2}$．
∵B（n，-2n+5）
∴OP=n，
∴PC=CO-PO=-n+$\frac{5}{2}$=AN，
在△DNA与△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AND=∠CPB=90°\\ PC=AN\\∠DAN=∠BCP\end{array}\right.$，
∴△DNA≌△BPC（ASA），
∴AD=BC，
∴△BOC是以MO、BO、AD的长为三边构成的三角形，
∴S_△BOC=$\frac{25}{16}$=$\frac{1}{2}$OC•BP=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$BP
∴BP=$\frac{5}{4}$，
∴-2n+5=$\frac{5}{4}$n=$\frac{15}{8}$，
∴B（$\frac{15}{8}$，$\frac{5}{4}$）
∴k=$\frac{75}{32}$，
∴y=$\frac{75}{32x}$，
∴OP=$\frac{15}{8}$，
∴PC=$\frac{5}{2}$-$\frac{15}{8}$=$\frac{5}{8}$，
∵等腰直角△BCE，∠BCE=90°，BC=CE，
∴作EQ⊥x轴，
∴△BPC≌△CQE，
∴BP=CQ=$\frac{5}{4}$，QE=PC=$\frac{5}{8}$
∴OQ=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴E（$\frac{15}{4}$，$\frac{5}{8}$） 当x=$\frac{15}{4}$时，y=$\frac{5}{8}$，
∴点E在此双曲线上．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数图象上点的坐标问题，全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．