Question

已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．

（1）求证：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，OA，

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∵PC是⊙O的切线，C为切点，

∴PC⊥OC，

∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，

在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，

∵∠AOC=2∠PBC，

∴2∠ACO+2∠PBC=180°，

∴∠ACO+∠PBC=90°，

∵∠PCA+∠ACO=90°，

∴∠PCA=∠PBC；

（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，

∴△PAC∽△PCB，

∴=，

∴PC²=PA•PB，

∵PA=3，PB=5，

∴PC==．