【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上,已知OA=6,OB=10.点D为y轴上一点,其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动,当点P与点B重合时停止运动,运动时间为t秒.
(1)当点P经过点C时,求直线DP的函数解析式;
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式;
②如图②,把长方形沿着OP折叠,点B的对应点B′恰好落在AC边上,求点P的坐标.
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x+2;(2)y=x+2;(2)①S=﹣2t+16,②点P的坐标是(,10);(3)存在,满足题意的P坐标为(6,6)或(6,2+2)或(6,10﹣2).
【解析】分析:(1)设直线DP解析式为y=kx+b,将D与B坐标代入求出k与b的值,即可确定出解析式;
(2)①当P在AC段时,三角形ODP底OD与高为固定值,求出此时面积;当P在BC段时,底边OD为固定值,表示出高,即可列出S与t的关系式;
②设P(m,10),则PB=PB′=m,根据勾股定理求出m的值,求出此时P坐标即可;
(3)存在,分别以BD,DP,BP为底边三种情况考虑,利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.
详解:(1)如图1,
∵OA=6,OB=10,四边形OACB为长方形,
∴C(6,10).
设此时直线DP解析式为y=kx+b,
把(0,2),C(6,10)分别代入,得
,解得
则此时直线DP解析式为y=x+2;
(2)①当点P在线段AC上时,OD=2,高为6,S=6;
当点P在线段BC上时,OD=2,高为6+10﹣2t=16﹣2t,S=×2×(16﹣2t)=﹣2t+16;
②设P(m,10),则PB=PB′=m,如图2,
∵OB′=OB=10,OA=6,
∴AB′==8,
∴B′C=10﹣8=2,
∵PC=6﹣m,
∴m2=22+(6﹣m)2,解得m=
则此时点P的坐标是(,10);
(3)存在,理由为:
若△BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图3,
①当BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8,
在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,
根据勾股定理得:CP1==2,
∴AP1=10﹣2,即P1(6,10﹣2);
②当BP2=DP2时,此时P2(6,6);
③当DB=DP3=8时,
在Rt△DEP3中,DE=6,
根据勾股定理得:P3E==2,
∴AP3=AE+EP3=2+2,即P3(6,2+2),
综上,满足题意的P坐标为(6,6)或(6,2+2)或(6,10﹣2).
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【题目】建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:
如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时,水面宽AB为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD,且CD=2米,此时水位上升了多少米?
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【题目】如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α.
(1)求证:BE=AD;
(2)当α=90°时,取AD,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图②,判断△CPQ的形状,并加以证明.
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【题目】如图所示的图象(折线)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离(千米)与行驶时间(时)之间的函数关系,根据图中提供的信息,给出下列说法:①汽车共行驶了140千米;②汽车在行驶途中停留了1小时;③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时;④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图1,直线与直线、分别交于点、,与互补.
(1)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
(2)如图2,与的角平分线交于点,与交于点,点是上一点,且,求证:.
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,是上一点使,作平分,求的度数.
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【题目】如图①,四边形中,,点从点出发,沿折线运动,到点时停止,已知的面积与点运动的路程的函数图象如图②所示,则点从开始到停止运动的总路程为________.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F.下列结论中:①△ABC≌△AED;②△ABE是等边三角形;③AD=AF;④S△ABE=S△CDE;⑤S△ABE=S△CEF.其中正确的是_____.
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【题目】如图已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.求证:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OE是CD的垂直平分线.
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