Question

如图，△ABC中，O为AC上的任意一点（不与A、C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．
（1）OE=OF吗？为什么？
（2）点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？
（3）△ABC满足什么条件时，（2）中的四边形AECF是正方形？

Answer 1

（1）解：理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF．

（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE=OF=OC=OA，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形．

（3）解：当△ACB满足∠ACB=90°时，矩形AECF是正方形，
理由是：∵直线l∥BC，
∴∠AOE=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∵四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
分析：（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可；
（3）根据（2）得出四边形是平行四边形，也是矩形，只要是得到是菱形的条件就行，即得出对角线互相垂直，由∠AOE=90°和矩形即可得出答案．
点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，题型较好，综合性比较强，难度也适中．