Question

如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l₄，则四边形ABCD的面积是

9

．

Answer 1

分析：首先延长DC交l₅于点F，延长CD交l₁于点E，作点B作BH⊥l₁于点H，连接BD，易证得△BAH∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AH，AE的长，由勾股定理求得AD与AB的长，然后由S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，即可求得答案．

解答：解：延长DC交l₅于点F，延长CD交l₁于点E，作点B作BH⊥l₁于点H，连接BD，
∵DC⊥l₄，l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，
∴DC⊥l₁，DC⊥l₅，
∴∠BHA=∠DEA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAH+∠DAE=90°，
∴∠ABH=∠DAE，
∴△BAH∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BH

AE

=

AH

DE

，
∵AB=2AD，BH=4，DE=1，
∴AE=2，AH=2，
∴BF=HE=AH+AE=2+2=4，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

5

，
∴AB=2AD=2

5

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AB•AD+

1

2

CD•BF=

1

2

×2

5

×

5

+

1

2

×2×4=9．
故答案为：9．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．