Question

（2012•河源）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于

1

2

AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

分析：（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，进而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形；
（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积．

解答：（1）证明：由题意可知：
∵分别以A、C为圆心，以大于

1

2

AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
∴直线DE是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；
且AD=CD、AO=CO，
又∵CE∥AB，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△COE中

∠1=∠2 ∠AOD=∠COE=90° AO=CO

，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
∵A0=CO，DO=EO，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AC⊥DE，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：当∠ACB=90°时，
OD∥BC，
即有△ADO∽△ABC，
∴

OD

BC

=

AO

AC

=

1

2

，
又∵BC=6，
∴OD=3，
又∵△ADC的周长为18，
∴AD+AO=9，
 即AD=9-AO，
∴OD=

AD2-AO2

=3，
可得AO=4，
∴DE=6，AC=8，
∴S=

1

2

AC•DE=

1

2

×8×6=24．

点评：此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法，根据已知得出△ADO∽△ABC进而求出AO的长是解题关键．