抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.
(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;
(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
(3)若射线NM交x轴于点P,且PA·PB=,求点M的坐标.
分析.(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案即可; (2)首先利用点N在抛物线上,得出N点坐标,再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,进而得出NF2=NB2,即可得出答案; (3)求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由(2)的思路得出MF=MA,然后连接AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA·PB的值转化为PF的值,进而求出点F的坐标和直线PF的解析式,即可得解. 解答.解:(1)y=x2+x+m=(x+2)2+(m-1) ∴顶点坐标为(-2,m-1) ∵顶点在直线y=x+3上, ∴-2+3=m-1, 得m=2; (2)∵点N在抛物线上, ∴点N的纵坐标为:a2+a+2, 即点N(a,a2+a+2) 过点F作FC⊥NB于点C, 在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB-CB=a2+a, ∴NF2=NC2+FC2=(a2+a)2+(a+2)2, =(a2+a)2+(a2+4a)+4, 而NB2=(a2+a+2)2, =(a2+a)2+(a2+4a)+4 ∴NF2=NB2, NF=NB; (3)连接AF、BF, 由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的结论知,MF=MA, ∴∠MAF=∠MFA, ∵MA⊥x轴,NB⊥x轴, ∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180° ∵△MAF和△NFB的内角总和为360°, ∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°, ∵∠MAB+∠NBA=180°, ∴∠FBA+∠FAB=90°, 又∵∠FAB+∠MAF=90°, ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA, 又∵∠FPA=∠BPF, ∴△PFA∽△PBF, ∴=,PF2=PA×PB=, 过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中, PG==, ∴PO=PG+GO=, ∴P(-,0) 设直线PF:y=kx+b,把点F(-2,2)、点P(-,0)代入y=kx+b, 解得k=,b=, ∴直线PF:y=x+, 解方程x2+x+2=x+, 得x=-3或x=2(不合题意,舍去), 当x=-3时,y=, ∴M(-3,). 点评.考查了二次函数综合题,在该二次函数综合题中,融入了勾股定理、相似三角形等重点知识,(3)题通过构建相似三角形将PA·PB转化为PF的值是解题的关键,也是该题的难点. |
考点.二次函数综合题. |
科目:初中数学 来源: 题型:
A.y=-(x+1)2+2 | B.y=-(x-1)2+4 |
C.y=-(x-1)2+2 | D.y=-(x+1)2+4 |
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2012年初中毕业升学考试(浙江丽水卷)数学(带解析) 题型:解答题
在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1,当点A的横坐标为 时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为时,
①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年山东省济宁地区九年级第一学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:选择题
将抛物线y=x2向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线的解析式为
A.y=x2-2x-1 B.y=-x2+2x-1
C.y=x2+2x-1 D.y=-x2+4x+1
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科目:初中数学 来源:2011届江苏省太仓市九年级上学期期中考试数学卷 题型:填空题
已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2011的值是 ▲ .
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