Question

19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-6ax+c．与x轴从左到右依次交于点A、B与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0），且OB=OC．
（1）如图1，求a、c的值；
（2）如图2，点D在x轴下方的抛物线上，CD交x轴于点E，连接BC、BD若S_△BCD=10，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件先，过点B作BF⊥BD，交CD于点F，点P在第一象限的抛物线上，连接PF、OD，若∠PFC=∠ODB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）用抛物线的对称轴额确定方法确定出对称轴，从而求出点C坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点D的坐标，表示出BE，用S_△BCD=10建立方程求解即可；
（3）借助三角函数判断出BH=3FH，再判断出△FHB≌△BTD，最后设出点P，建立方程求解即可．

解答 解（1）∵抛物线y=ax²-6ax+c，
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{-6a}{2a}$=3，
∵A（1，0），
∴B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴C（0，5），
∵抛物线过点A和C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-6a+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-6x+5，
（2）如图2，

过点D作DT⊥x轴于T，
设D（t，t²-6t+5），
∴直线CD的解析式为y=（t-6）x+5，
∴E（-$\frac{5}{t-6}$，0）
∴BE=5+$\frac{5}{t-6}$，
∵S_△BCD=10，
∴$\frac{1}{2}$BE×OC+$\frac{1}{2}$BE×DT=10，
∴$\frac{1}{2}$BE（OC+DT）=10，
∴$\frac{1}{2}$（5+$\frac{5}{t-6}$）（5-t2+6t-5）=10，
∴t=1（舍）或t=4，
∴D（4，-3），
（3）如图3，

过点F作FH⊥x轴于H，过PG⊥FH于G，
由（2）知，E（$\frac{5}{2}$，0），D（4，-3），
∴直线CD解析式为y=-2x+5，
∵BT=OB-OT=1，DT=3．
∴tan∠ABD=$\frac{DT}{BT}$=3，
∵BF⊥BD，
∴∠FHB+∠ABD=90°，
∵FH⊥x轴，
∴∠FHB=90°，
∴∠FBH+∠HFB=90°，
∴∠ABD=∠HFB，
∴tan∠ABD=tan∠HFB，
∴BH=3FH，
设F（m，-2m+5），
∴FH=-2m+5，BH=5-m，
∴5-m=3（-2t+5），
∴m=2，
∴F（2，1），
∴FH=BT，
∵∠FHB=∠BTD=90°，∠HFB=∠TBD，
∴△FHB≌△BTD，
∴BF=BD，
∴∠BDF=45°，
∵AT=4，TD=3，
∴OD=5=OC，
∴∠ODB=45°+∠ODC=45°+∠OCD，
∵∠PFC=∠PFG+∠GFC=∠PFG+∠OCD，
∴∠PFG=45°，
∴GP=GF，
设P（n，n²-6n+5），
∴PG=n-2，
∴GF=n-2，GH=n-2+1=n-1，
∴n²-6n+5=n-1，
∴n=1（舍）或n-6，
∴P（6，5）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法求抛物线解析式，全等三角形的性质和判定，用分割法求三角形的面积的方法，三角函数，解本题的关键是用S_△BCD=10建立方程求出点D的坐标，用方程的思想是解本题的难点．