Question

（2004•徐州）下列边长为a的正多边形与边长为a的正三角形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
（1）正方形；（2）正五边形；（3）正六边形；（4）正八边形．
A．（1）（2）
B．（2）（4）
C．（1）（3）
D．（1）（4）

Answer 1

【答案】分析：根据多边形镶嵌成平面图形的条件，因为正三角形的内角和为60°，而正方形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别为90°、108°、120°、135°，显然正五边形与正八边形与正三角形的组合不能进行平面镶嵌．
解答：解：根据平面镶嵌的条件，用公式分别解出各正多边形的内角分别为90°、108°、120°、135°，
设用m块正三角形，n块正方形，则有60m+90n=360，得m=6-n，
当n取2时，m得正整数解3，故正方形与正三角形能镶嵌成平面，
同理，可证正六边形也能与正三角形镶嵌成平面，
而正五边形，正8边形不能与正三角形组合起来镶嵌成平面．
故选B．
点评：解这类题，除了掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，还可列二元一次方程看是否有正整数解来判断．
如设用m块正三角形，n块正八边形，则有60m+135n=360，得m=6-n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，这种列方程的求整数解的解法应掌握．