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已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于B(-2,0),C(4,0)两点,点E是对称轴l与x的交点.
(1)求二次函数的解析表达式;
(2)T为对称轴l上一动点,以点B为圆心,BT为半径作⊙B,写出直线CT与⊙B相切时,T点的坐标;
(3)若在x轴上方的P点为抛物线上的动点,且∠BPC为锐角,直接写出PE的取值范围;
(4)对于(1)中得到的关系式,若x为整数,在使得y为完全平方数的所有x的值中,设x的最大值为m,最小值为n,次小值为s,求m、n、s的值.(注:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么就称这个数为完全平方数.)

【答案】分析:(1)将B、C坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式.
(2)若⊙B与直线CT相切,那么BT⊥CT,易得抛物线的对称轴方程,可设出点T的纵坐标,利用直线BT、直线CT的垂直,即斜率的乘积为-1,即可列出关于T点纵坐标的方法,求得点T的坐标.
(3)此题应该结合圆周角定理来理解,以E为圆心,BC为半径作圆,交抛物线于M、N两点,那么∠BMC=∠BNC=90°,若∠BEC是锐角,那么点E必在M、N之间的函数图象上,当P位于M或N得位置时,PE=3,当P位于抛物线的顶点时,PE的值为抛物线顶点纵坐标,由此可求得PE的取值范围.
(4)将(1)题所得抛物线解析式化为关于x的一元二次方程,由于方程有整数解,那么根的判别式大于0,可据此求得y的取值范围,由于y是一个完全平方数,进而可求得y的值,再将其值代入方程中即可求得x的值,从而确定m、n、s的值.(也可通过观察函数图象来确定y的值)
解答:解:(1)由于抛物线的图象经过B(-2,0),C(4,0)两点,则有:

解得
故抛物线的解析式为:y=-x2+2x+8.(4分)

(2)易知抛物线的对称轴为:x=1;
设点T(1,m),
则直线BT的斜率:k1=,直线CT的斜率:k2=
若⊙B与CT相切,则有:

解得m=±3;
故T(1,3)或(1,-3).(2分)

(3)以E为圆心,BC长为直径作圆,交抛物线于M、N两点;
由圆周角定理知:∠BMC=∠BNC=90°,
此时ME=NE=BC=3;
若∠BPC是锐角,那么点P必在M、N之间的抛物线图象上,故PE>3;
易知抛物线的顶点坐标为:(1,9),
当点P运动到抛物线的顶点位置时,PE的长最大,且此时PE=9;
综上可知,PE的取值范围为:3<PE≤9.(2分)

(4)法一:由y=-x2+2x+8,故关于x的一元二次方程x2-2x+(y-8)=0有整数解,
因此△x=4-4(y-8)=-4y+36是完全平方数,且△x=-4y+36≥0,
则y≤9,又y是一个完全平方数,
所以,y只能为0,1,4,9;(1分)
分别代入方程x2-2x+(y-8)=0,又x为整数,
解得
因此m=4、n=-2、s=1.(1分)
法二:由图象不难看出0≤y≤9,又y是一个完全平方数,
所以y只能为0,1,4,9,(1分)
分别代入关系式y=-x2+2x+8,又x为整数,
解得
因此m=4、n=-2、s=1.(1分)
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、根的判别式等重要知识;涉及的知识点较多,综合性强,难度较大.
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②④⑤
②④⑤
.(请写出所有正确说法的序号)

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(5,0)
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