Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由DE⊥AB，AE=6，cosA=，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=8；
（2）由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18．由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=．
解答：解：（1）在Rt△ADE中，由AE=6，cosA==，得：AD=10，（1分）
由勾股定理得DE===8（2分）
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，角平分线性质得：DC=DE=8．（4分）

（2）方法一：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得：=，即=，BC=24，（5分）
得：tan∠DBC===（6分）
方法二：由（1）得AC=18，又cosA==，得AB=30，
由勾股定理得BC=24（5分）得：tan∠DBC=．（6分）
点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．