Question

9．如图已知在等边△ABC中，点D为边AC上一点，点E在CB的延长线上，且AD=BE，连接DE交边AB于点M，点N在BC上，且S_△BEM=$\frac{1}{2}$S_△NEM，求证：
（1）∠BMN=∠DNM；
（2）AM=AD+BM．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF∥BC，交AB于点D，易证△BEM≌△FDM，则EM=DM，由S_△BEM=$\frac{1}{2}$S_△NEM，可知EB=BN，所以DN∥AB，可证∠BMN=∠DNM；
（2）由△BEM≌△FDM，可知BM=MF，由△ADF是等边三角形，可知AD=AF，所以AM=AD+BM．

解答 证明：（1）过点D作DF∥BC，交AB于点D，
∴∠E=∠FDM，∠AFD=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AD=BE，
∴DF=BE，
在△BEM和△FDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠FDM}\\{∠BME=∠FMD}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△FDM，
∴EM=DM，
∵S_△BEM=$\frac{1}{2}$S_△NEM，
∴EB=BN，
∴DN∥AB，
∴∠BMN=∠DNM；
（2）∵△BEM≌△FDM，
∴BM=MF，
∵AD=AF，
∴AM=AD+BM．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，构造全等三角形是解决问题的关键．