Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=$\frac{4}{5}$，下列结论：
①△ADE∽△ACD；②△ABD∽△DCE；③当△ABD≌△DCE时，BD=5；④△DCE为直角三角形时，BD为8或$\frac{25}{2}$；
其中正确的结论是①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．
②先由三角形内角和定理求得∠BAD=∠EDC，根据两组对应角相等的三角形相似即可证明．
③如图1，作高线AG，根据三角函数求BC=16，当△ABD≌△DCE时，DC=AB=10，则BD=6．
④分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，

②∵∠B=∠ADE=α，
∴∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠EDC=180°-α，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
故②正确，

③如图1，过A作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BG=ABcosB=AB•cosα，
∴BC=2BG=2ABcosα=2×10×$\frac{4}{5}$=16，
当△ABD≌△DCE时，DC=AB=10
∴BD=BC-DC=16-10=6，
故③不正确，

④分两种情况：
i）当∠AED=90°时，如图2，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴BD=8．
ii）当∠CDE=90°时，如图3，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$．AB=10，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{10}{BD}=\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．