Question

已知二次函数y=x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	8	3	0	-1	0	3	…

（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y₁），B（m+2，y₂）两点都在该函数的图象上，计算当m取何值时，y₁＞y₂？

Answer 1

解：（1）由表格得：二次函数与x轴的两交点分别为（1，0），（3，0），
设二次函数解析式为y=a（x-1）（x-3），
将x=0，y=3代入得：3=3a，即a=1，
则二次函数解析式为y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）由（1）y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
则当x=2时，y_min=-1；

（3）将A坐标代入二次函数解析式得：y₁=m²-4m+3；
B坐标代入二次函数解析式得：y₂=（m+2）²-4（m+2）+3=m²-1，
若y₁＞y₂，则m²-4m+3＞m²-1，
解得：m＜1．
分析：（1）由表格得到二次函数与x轴的两交点坐标，设出二次函数的两根式方程，将（0，3）代入求出a的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将（1）得出的函数解析式配方后，根据完全平方式大于等于0，即可求出y的最小值，以及此时x的值；
（3）将A点坐标代入二次函数解析式中表示出y₁，B坐标代入表示出y₂，由y₁＞y₂列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
点评：此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．