分析 (1)先求出A、B坐标,关键勾股定理即可解决问题.
(2)①如图,作QM⊥y轴于点吗,QN⊥x轴于N,由△AMQ∽△AOB,得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$求出AM,MQ,根据S=S△ABC-S△ACP-S△PQB即可解决问题.
②i)AP=AQ时,根据AP2=AQ2,列出方程解决问题.
ii)当PA=PQ时,根据PA2=PQ2,列出方程解决问题.
解答 解:(1)∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B,
∴A(3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5.
(2)①如图,作QM⊥y轴于点吗,QN⊥x轴于N,
∵QM∥OB,
∴△AMQ∽△AOB,
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$,即$\frac{t}{5}$=$\frac{QM}{3}$=$\frac{AM}{4}$,
∴QM=$\frac{3}{5}$t,AM=$\frac{4}{5}$t,OM=4-$\frac{4}{5}$t,CP=5-t,
∵四边形ONQM是矩形,
∴QN=OM,MQ=ON,
∴S△ACP=$\frac{1}{2}$CP•AO=10-2t,S△QPB=$\frac{1}{2}$PB•QN=2t-$\frac{2}{5}$t2,
∴S=S△ABC-S△ACP-S△PQB=$\frac{2}{5}$t2(0<t≤5).
②在RT△APO中,AP2=PO2+AO2=(t-3)2+42,
由①可知NB=3-$\frac{3}{5}$t,
在RT△PQN中,PN=PB-BN=$\frac{8}{5}$t-3,
∴PQ2=PN2+QN2=($\frac{8}{5}$t-3)2+(4-$\frac{4}{5}$t)2,
i)当AP=AQ时,AP2=AQ2,即(t-3)2+42=t2,解得t=$\frac{25}{6}$,
ii)当PA=PQ时,PA2=PQ2,即(t-3)2+42=($\frac{8}{5}$t-3)2+(4-$\frac{4}{5}$t)2,解得t=$\frac{50}{11}$或0(舍弃).
综上所述t=$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{11}$时,△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形.
点评 本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用分割法求面积,学会分类讨论,学会把问题转化为方程解决问题,不能漏解,属于中考压轴题.
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A. | $\frac{12}{5}$ | B. | $\frac{13}{12}$ | C. | $\frac{12}{13}$ | D. | $\frac{5}{12}$ |
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