如图.在Rt△ABC中.∠B=90°.BC=53.∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.当其中一个点到达终点时.另一个点也随之停止运动．设点D.E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F.连接DE.EF．(1)AC的长是 .AB的长是．(2)在D.E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是

，AB的长是

．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2

？

考点：平行四边形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,菱形的判定

专题：动点型

分析：（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．
（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．
（4）BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5

t，从而得到S△BEF=

×BF×BE=2

，然后求得t的值．

解答：（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC²-AB²=BC²，
∴3AB²=75，
∴AB=5，AC=10；

（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等．

（3）解：能；
理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5

=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=

．
即当t=

时，四边形AEFD为菱形．

（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=

CD，
∴CF=

t，
又∵BE=AB-AE=5-t，BF=BC-CF=5

t，
∴S△BEF=

×BE×BF=2

，
即：

(5-t)(5

t)=2

，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），
∴t=3．
故当t=3时，△BEF的面积为2

．
故答案为：5，10；平行且相等；

；3．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

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