Question

5．已知，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=1，BC=2，AB=3，点M位于线段AB上，且△DMC是直角三角形，求线段AM的长度．

Answer 1

分析 设AM=x．只要证明△AMD∽△BCM，可得$\frac{AM}{BC}$=$\frac{AD}{BM}$，构建方程即可解决问题．

解答 解：设AM=x．

∵∠A=∠B=∠DMC=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，∠BMC+∠MCB=90°，
∴∠AMD=∠MCB，
∴△AMD∽△BCM，
∴$\frac{AM}{BC}$=$\frac{AD}{BM}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{3-x}$，
解得x=1或2，经检验x=1或2是方程的解，
∴AM=1或2．

点评 本题考查直角梯形、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质，构建方程解决问题，属于中考常考题型．