Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB方向向点B运动，点Q从点D出发，以每秒3cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥CD，则AB=CE=10cm，AE=BC=8cm，然后，根据勾股定理，可得DE的长，即可解答；
（2）由题意可知，BP=DQ，即10-2t=3t，解出t，然后，根据勾股定理，可求得BQ的值，即可求得平行四边形PBQD的周长；
（3）由题意得BP=10-2t，如图，由三角形的面积是20，可解答出t值；

解答：解：（1）作AE⊥CD，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB=CE=10cm，AE=BC=8cm，
∴在直角△AED中，
DE=

AD2-AE2

=

102-82

=6cm，
∴CD=16cm．

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，
如图，由题知：BP=10-2t，DQ=3t
∴10-2t=3t，解得t=2，
∴BP=DQ=6，CQ=10，
∴BQ=

82+102

=2

41

，
∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=12+4

41

（cm）．

（3）假设存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²，
∵BP=10-2t，
∴S_△BPQ=

1

2

BP•BC=

1

2

(10-2t)×8=20，
∴t=

5

2

，
∴当t=

5

2

秒时△BPQ的面积为20cm²．

点评：本题主要考查了直角梯形、勾股定理和平行四边形的性质定理，注意动点线段的表示方法，考查了学生对知识的综合运用能力．