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18.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,O是AD的中点,连接OB,OC,点E在线段BC上(点E不与B、C重合),过点E作EM⊥OB于M,EN⊥OC于N,则EM+EN的值为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$.

分析 过B作BH⊥OC于H,过E作EM⊥BH于M,由四边形EGHN是矩形,得到EN=HM,根据矩形的性质得到∠A=∠D=90°,AB=CD,证得△ABO≌△CDO,得到OB=OC,推出△BEM≌△BEG,得到BG=EM,等量代换得到BH=EM+EN,由△BCH∽△CDO,得到比例式,即可得到结论.

解答 解:过B作BH⊥OC于H,过E作EG⊥BH于G,
则四边形EGHN是矩形,
∴EN=HM,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD,
∵O是AD的中点,
∴AO=DO,
在△ABO与△CDO中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠D}\\{AO=DO}\end{array}\right.$,
∴△ABO≌△CDO,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠GEB=∠OCB,
在△BEM与△BGE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠EGB}\\{∠MBE=∠GEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$,
∴△BEM≌△BEG,
∴BG=EM,
∴BH=EM+EN,
∵AD∥BC,
∴∠DOC=∠OCB,
∵∠D=∠BHC=90°,
∴△BCH∽△CDO,
∴$\frac{CD}{BH}=\frac{OC}{BC}$,
∵OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∴BH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$,
∴EM+EN的值为:$\frac{3\sqrt{10}}{5}$.

点评 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

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