Question

在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x²在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

(1)如图1，当点A的横坐标为       时，矩形AOBC是正方形；
(2)如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y＝x²作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝﹣x²，试判断抛物线y＝﹣x²经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

Answer 1

解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵矩形AOBC是正方形， ∴∠AOC＝45°， ∴∠AOD＝90°﹣45°＝45°， ∴△AOD是等腰直角三角形， 设点A的坐标为(﹣a，a)(a≠0)，则(﹣a)2＝a， 解得a1＝﹣1，a2＝0(舍去)， ∴点A的坐标﹣a＝﹣1， 故答案为：﹣1； (2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F， 当x＝﹣时，y＝(﹣)2＝， 即OE＝，AE＝， ∵∠AOE+∠BOF＝180°﹣90°＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠EAO＝∠BOF， 又∵∠AEO＝∠BFO＝90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴＝＝＝， 设OF＝t，则BF＝2t， ∴t2＝2t，解得：t1＝0(舍去)，t2＝2， ∴点B(2，4)； ②过点C作CG⊥BF于点G， ∵∠AOE+∠EAO＝90°，∠FBO+∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，∴∠EAO＝∠CBG， 在△AEO和△BGC中，， ∴△AEO≌△BGC(AAS)， ∴CG＝OE＝，BG＝AE＝． ∴xc＝2﹣＝，yc＝4+＝， ∴点C(，)， 设过A(﹣，)、B(2，4)两点的抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c， 由题意得，， 解得， ∴经过A、B两点的抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2， 当x＝时，y＝﹣()2+3×+2＝， 所以点C也在此抛物线上， 故经过A、B、C三点的抛物线解析式为 y＝﹣x2+3x+2＝﹣(x﹣)2+； 平移方案：先将抛物线y＝﹣x2向右平移个单位， 再向上平移个单位得到抛物线y＝﹣(x﹣)2+．