Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E，
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点．

Answer 1

分析：（1）将B点代入直线解析式得出m的值，然后得出点A及点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可．
（2）过点B作BF⊥CE于点F，交y轴于点H，则可得BH=2，HF=2，继而由DH∥EF，可得出DH是△BEF的中位线，从而①、②均可得证．

解答：解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由题意得，二次函数的对称轴为x=2，
则可得点A的坐标为（4，0），
设二次函数解析式为：y=ax²+bx，
则可得：

16a+4b=0 4a-2b=3

，
解得：

a= 1 4 b=-1

，
故抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-x．

（2）过点B作BF⊥CE于点F，交y轴于点H，

∵点E是x=2与y=-2x-1的交点，
∴点E的坐标为（2，-5），
故可得CE=5，
根据点B的坐标可得BH=2，CF=3，HF=2，
则BC=

BF2+CF2

=5，
即可得CB=CE．
又∵HD∥EF，BH=HF=2，
∴DH是△BEF的中位线，
即可得D是BE的中点．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形中位线的性质、点的坐标与线段长度的转化，综合性较强，解答本题注意各知识点的融会贯通．