Question

【题目】如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EFD＝90，△DEF，的顶点E与△ABC的斜边AB的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段AC与线段EF相交于点Q，射线ED与射线BC相交于点P．

(1)求证:△AEQ∽△BPE；

(2)求证:PE平分∠BPQ；

(3)当AQ＝2，AE=，求PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5

【解析】

(1)求出∠A＝∠B＝∠DEF＝45和∠AEQ=∠BPE ，即可证明相似.

(2)证明△AEQ∽△EPQ，推出∠EPQ=∠BPE即可解答.

(3) 过点E作EH⊥BP于点H, 根据条件求出△AEQ∽△BPE，推出PE，再利用相似解答.

解：（1）证明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠B＝∠DEF＝45,

而∠PEB+∠AEQ=∠PEB+∠EPB=180-45=135

∴∠AEQ=∠BPE

∴△AEQ∽△BPE;

(2)∵△AEQ∽△BPE,∴∠AEQ=∠BPE,,

而AE=BE,∴,…

∵∠A＝∠DEF＝45,

∴△AEQ∽△EPQ,

∴∠AEQ=∠EPQ，∴∠EPQ=∠BPE,

即PE平分∠BPQ；

（3）过点E作EH⊥BP于点H,AQ＝2，AE=

∵AE=BE=,∠ACB=90,AC=BC,由勾股定理易得AC=BC=6,

∵∠B=45,BE=,易得EH=BH=3

∵△AEQ∽△BPE,∴， ∴…

∴PH=BP-BH=9-3=6， ∴…

∵△AEQ∽△EPQ∽△BPE,

∴,∴.