Question

13．已知：如图，直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于点A（2，3）和点B（6，m）．
（1）求k和m的值．
（2）根据图象直接写出当x＞0且ax+b＞$\frac{k}{x}$时，自变量x的取值范围．
（3）请问在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值；
（2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案；
（3）可设C点坐标为（x，0），由A、B两点坐标，则可表示出AC、BC的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可

解答 解：
（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）过点A（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
∵反比例函数图象过点B，
∴m=$\frac{6}{6}$=1；
（2）当ax+b＞$\frac{k}{x}$时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围，
∵A（2，3），B（6，1），
∴当x＞0且ax+b＞$\frac{k}{x}$时，自变量的取值范围为2＜x＜6；
（3）设C点坐标为（x，0），
∴AC²=（x-2）²+3²=x²-4x+13，BC²=（x-6）²+1=x²-12x+37，AB²=（6-2）²+（1-3）²=20，
∵△ABC为等腰直角三形，
∴∠ABC=90°、∠ACB=90°或∠CAB=90°三种情况，
①当∠ABC=90°时，则有AB²+BC²=AC²，即20+x²-12x+37=x²-4x+13，解得x=$\frac{11}{2}$，
但此时BC²=（$\frac{11}{2}$）²-12×$\frac{11}{2}$+37=$\frac{5}{4}$≠20，即BC≠AB，故不符合题意；
②当∠ACB=90°时，则有AC²+BC²=AB²，即x²-12x+37+x²-4x+13=20，解得x=3或x=5，
当x=3时，x²-12x+37=10，x²-4x+13=10，即AC=BC，故符合题意；
当x=5时，x²-12x+37=2，x²-4x+13=18，即AC≠BC，故不符合题意；
∴C（3，0）；
③当∠CAB=90°时，则有AC²+AB²=BC²，即20+x²-4x+13=x²-12x+37，解得x=$\frac{1}{2}$，
此时AC²=（$\frac{1}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$+13=$\frac{45}{4}$≠20，即AC≠AB，故不符合题意；
综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（3，0）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合思想的应用，在（3）中用C点坐标分别表示出△ABC三边的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．