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如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点.点A的横坐标为﹣3,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于C,交直线AB于D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当m为何值时,S四边形OBDC=2SBPD

(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

 


解:(1)∵y=x﹣1,∴x=0时,y=﹣1,∴B(0,﹣1).

当x=﹣3时,y=﹣4,∴A(﹣3,﹣4).

∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点,∴,∴

∴抛物线的解析式为:y=x2+4x﹣1;

(2)∵P点横坐标是m(m<0),∴P(m,m2+4m﹣1),D(m,m﹣1)

如图1①,作BE⊥PC于E,

∴BE=﹣m.

CD=1﹣m,OB=1,OC=﹣m,CP=1﹣4m﹣m2

∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2

解得:m1=0(舍去),m2=﹣2,m3=﹣

如图1②,作BE⊥PC于E,

∴BE=﹣m.

PD=1﹣4m﹣m2+1﹣m=2﹣4m﹣m2

解得:m=0(舍去)或m=﹣3,

∴m=﹣,﹣2或﹣3时S四边形OBDC=2SBPD

 

(3))如图2,当∠APD=90°时,设P(a,a2+4a﹣1),则D(a,a﹣1),

∴AP=m+4,CD=1﹣m,OC=﹣m,CP=1﹣4m﹣m2

∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2

在y=x﹣1中,当y=0时,x=1,∴(1,0),∴OF=1,

∴CF=1﹣m.AF=4.∵PC⊥x轴,∴∠PCF=90°,

∴∠PCF=∠APD,∴CF∥AP,∴△APD∽△FCD,

解得:m=1舍去或m=﹣2,

∴P(﹣2,﹣5)

如图3,当∠PAD=90°时,作AE⊥x轴于E,

∴∠AEF=90°.CE=﹣3﹣m,EF=4,AF=4,PD=1﹣m﹣(1﹣4m﹣m2)=3m+m2

∵PC⊥x轴,∴∠DCF=90°,∴∠DCF=∠AEF,∴AE∥CD.∴

∴AD=(﹣3﹣m).∵△PAD∽△FEA,∴,∴

∴m=﹣2或m=﹣3

∴P(﹣2,﹣5)或(﹣3,﹣4)与点A重合,舍去,

∴P(﹣2,﹣5).


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