Question

16．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D关于直线AE的对称点为F，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE²=BD²+CE²；
（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE²=BD²+CE²还能成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，可得EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，再利用等式的性质，判断出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD≌△ACF；
（2）根据（1）得出的全等三角形对应边相等，可得CF=BD，根据全等三角形对应角相等，可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；
（3）结合（1）、（2）的方法即可判断出等式DE²=BD²+CE²还成立．

解答 解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，
∴∠CAE+∠CAF=α，
∵∠BAC=2∠DAE=2α，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；

（2）由（1）知，△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²；

（3）等式DE²=BD²+CE²还成立．
理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α，
∴∠DAE=α，
∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，
∴∠CAF=∠EAF+∠CAE=α+∠CAE，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=2α-∠DAC=2α-（∠DAE-∠CAE）=2α-（α-∠CAE）=α+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²，

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，判断出△ABD≌△ACF是解题的关键，运用类比思想是解本题的重点．