Question

16．已知A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…，A_n，A_n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁，B₂，B₃，…，B_n，B_n+1，连接A₁B₂，B₁A₂，A₂ B₃，…，A_nB_n+1，B_nA_n+1，依次相交于点P₁，P₂，P₃，…，P_n．若△A₁B₁P₁，△A₂B₂P₂，△A₃B₃P₃，…，△A_nB_nP_n的面积依次记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S_n为$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$．

Answer 1

分析 首先根据OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，可得OB₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_nB_n+1；然后根据三角形的面积公式，求出△OA₁B₁的面积是1，进而判断出△A₁B₁B₂的面积也是1；再根据A₁B₁∥A₂B₂，可得$\frac{{{A}_{1}P}_{1}}{{{P}_{1}B}_{2}}=\frac{{{A}_{1}B}_{1}}{{{A}_{2}B}_{2}}=\frac{1}{2}$，所以${{A}_{1}P}_{1}={{\frac{1}{3}A}_{1}B}_{2}$，所以${S}_{1}={\frac{1}{3}S}_{{{{△A}_{1}B}_{1}B}_{2}}$=$\frac{1}{3}$×$1=\frac{1}{3}=\frac{{1}^{2}}{2×1+1}$；同理，分别判断出S₂，S₃，…的大小，再总结出一般规律，求出S_n的大小即可．

解答 解：因为OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，
所以OB₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_nB_n+1；
△OA₁B₁的面积是：
1×（1×2）÷2
=1×2÷2
=1
因为OB₁=B₁B₂，
所以△A₁B₁B₂的面积也是1；
因为A₁B₁∥A₂B₂，
所以$\frac{{{A}_{1}P}_{1}}{{{P}_{1}B}_{2}}=\frac{{{A}_{1}B}_{1}}{{{A}_{2}B}_{2}}=\frac{1}{2}$，
所以${{A}_{1}P}_{1}={{\frac{1}{3}A}_{1}B}_{2}$，
所以${S}_{1}={\frac{1}{3}S}_{{{{△A}_{1}B}_{1}B}_{2}}$=$\frac{1}{3}$×$1=\frac{1}{3}=\frac{{1}^{2}}{2×1+1}$；

△OA₂B₂的面积是：
2×（2×2）÷2
=2×4÷2
=4
因为OB₂=2B₂B₃，
所以△A₂B₂B₃的面积是：
4×$\frac{1}{2}=2$；
因为A₂B₂∥A₃B₃，
所以$\frac{{{A}_{2}P}_{2}}{{{P}_{2}B}_{3}}=\frac{{{A}_{2}B}_{2}}{{{A}_{3}B}_{3}}=\frac{2}{3}$，
所以${{A}_{2}P}_{2}={{\frac{2}{5}A}_{2}B}_{3}$，
所以S₂=$\frac{2}{5}$×2=$\frac{4}{5}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2+1}$；
同理，可得S₃=$\frac{9}{7}=\frac{{3}^{2}}{2×3+1}$，
…，
所以S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；解答此题的关键是从S₁，S₂，S₃，…的大小总结出S_n的大小．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法、三角形的面积大小比较，以及平行线的性质，要熟练掌握．