【题目】[感知] 如图①,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与A、B重合), , 易证: △DAP∽△PBC(不要求证明)
[探究]如图②,在四边形ABCD中,点P在边AB上(点P不与A、B重合),
(1)求证:△DAP∽△PBC.
(2)若PD=5,PC=10.BC=8求AP的长.
[应用]如图③,在△ABC中,AC=BC=4,AB=6,点P在边AB上(点P不与A、B重合),连结CP,作 ,与边BC交于点E.当CE=3EB时,直接写出AP的长.
【答案】(1)详见解析;(2)4;[应用]AP=
【解析】
(1)由三角形外角性质可得∠DPB=∠A+∠ADP,然后推出∠ADP=∠CPB即可证明相似;
(2)由相似得到对应边成比例,建立方程即可求AP;
[应用]同(1)的方法,先证明∠EPB=∠ACP,然后证明△APC∽△BEP,再由对应边成比例建立方程求AP.
(1)∵∠DPB=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP,
∵∠A=∠DPC,
∴∠ADP=∠CPB
∵∠A=∠B
∴
(2)
∴
∴
∴AP=4.
[应用]AP=,理由如下:
∵∠BPC=∠A+∠ACP
∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP
∵∠CPE=∠A
∴∠EPB=∠ACP
又∵AC=BC
∴∠A=∠B
∴△APC∽△BEP
∴
∵CE=3EB
∴BE=BC=1
∴
解得AP=
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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED,点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数;
(2)如图2,若=60°时,点F是边AC中点,求证:四边形BFDE是平行四边形.
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【题目】如图,四边形 ABCD 是边长为 2,一个锐角等于 60°的菱形纸片,将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合,按顺时针方向旋转这个三角形纸片,使它的两边分别交 CB,BA(或它们的延长线)于点 E, F;
①当 CE=AF 时,如图①,DE 与 DF 的数量关系是 ;
②继续旋转三角形纸片,当 CE≠AF 时,如图②,(1)的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
③再次旋转三角形纸片,当点 E,F 分别在 CB,BA 的延长线上时,如图③, 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,点D、E分别在BC、AC上(点D不与点B、C重合),且∠ADE=45°,若△ADE是等腰三角形,则CE=_____.
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【题目】2018年10月23日,港珠澳大桥正式开通,成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛,来衔接桥梁和海底隧道,西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米,点C是与西人工岛相连的大桥上的一点,A,B,C在一条直线上.如图,一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行,到达P点时观测两个人工岛,分别测得与观光船航向的夹角∠DPA=18°,∠DPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离的长.
参考数据:°,°,°,°,°,°.
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【题目】一只不透明的袋子中装有红球2个和白球2个,这些球除颜色外其余都相同,小明从袋子中任意摸出一球,记下颜色后不放回,若小明再从剩余的球中任取一球,请你用列表法或树状图的方法,求小明两次都摸出红球的概率.
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【题目】近年来网约车十分流行,初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查,司机月收入(单位:千元)如图所示:
根据以上信息,整理分析数据如下:
(1)完成表格填空;
(2)若从两家公司中选择一家做网约车司机,你会选哪家公司,并说明理由.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣x﹣6.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,指出方程x2﹣x﹣6=0的解及不等式x2﹣x﹣6>0解集;
(3)求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
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【题目】下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程.
如图1,已知圆上一点A,画过A点的圆的切线.
画法:(1)如图2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点C(与点A不重合)处,使其一直角边经过点A,另一条直角边与圆交于B点,连接AB;
(2)如图3,将三角板的直角顶点与点A重合,使一条直角边经过点B,画出另一条直角边所在的直线AD.
所以直线AD就是过点A的圆的切线.
请回答:该画图的依据是_______________________________________________.
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