Question

20、设（2x+1）⁶=a₀x⁶+a₁x⁵+a₂x⁴+a₃x³+a₄x²+a₅x+a₆，这是关于x的一个恒等式（即对于任意x都成立）．请设法求得以下三式的数值：
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆；（2）a₁+a₃+a₅；（3）a₂+a₄

Answer 1

分析：代入x的特殊值，当x=1时，可以得出a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆；当x=-1时可以根据x=1得出a₁+a₃+a₅；当x=0时根据a₆=1，又a₀为最高次项系数为2⁶，得a₂+a₄．

解答：解：（1）令x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=（2+1）⁶=729 ①；

（2）令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆=（-2+1）⁶=1 ②
①-②得2（a₁+a₃+a₅）=729-1=728，
∴a₁+a₃+a₅=364 ③；

（3）①+②得2（a₀+a₂+a₄+a₆）=730，
得a₀+a₂+a₄+a₆=365 ④
令x=0，得a₆=1，又a₀为最高次项系数为2⁶，得a₂+a₄=300．

点评：本题考查了等式的应用问题，合理取x的值是解题的关键．