Question

如图，已知：四边形AEBD中，对角线AB和DE相交于点C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=

ab

，其中a≥b＞0．
（1）用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O（保留作图痕迹）
（2）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）试估计代数式a+b和2

ab

的大小关系，并利用图形中线段的数量关系证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）作图思路：先作AB的垂直平分线，以垂直平分线与AB的交点为圆心，以AB的一半为半径作圆，所得的圆为所求的圆；
（2）求D是否在圆上，连接OD，如果证明了OD=OA=OB那么D就在圆上了，那么只要证明∠ADB是个直角就可以了，可通过证明△DCA∽△BCD，根据题目给出的条件，不难得出CD²=AC•CB，那么证明△DCA∽△BCD就容易多了；
（3）圆内长的弦是直径，那么AB≥DE，AB=a+b，DE=2DC=2

ab

，因此可得出：a+b≥2

ab

．

解答：解：（1）如图所示

（2）∵AC=a，BC=b，CD=

ab

，
∴CD²=AC•CB，即

CD

AC

=

CB

CD

又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD；
∴∠DAB=∠CDB，∵∠DAB+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°
即∠ADB=90°，∴OA=OB=OD，∴点D在⊙O上；

（3）结论：a+b≥2

ab

；
由（2）知，点D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2

ab

，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2

ab

．

点评：本题主要考查了点与圆的关系，相似三角形的判定等知识点．要证明某点是否在圆上，只要连接这点和圆心再证明其长度等于半径即可．