Question

某校有400米的环形跑道，跑道为6道，每道宽为1米，内部为一个矩形和两个半圆．
（1）要使矩形面积最大，求操场一边的直跑道道长；
（2）求跑道的外圈的长．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设矩形长为x，宽为y，根据πy+2x=400即可求得x、y的关系，根据矩形面积S=yx可得关于x的二次函数式，求得抛物线的对称轴即可解题；
（2）跑道的外圈长主要是半圆的直径在变大，矩形的长为100米保持不变，可得L=2π（

100

π

+2×6）+200，即可解题．

解答：解：（1）设矩形长为x，宽为y，
则矩形面积S=yx，
∵环形跑道为400米，
∴πy+2x=400，即y=

400-2x

π

，
∴S=xy=x

400-2x

π

=

1

π

（-2x²+400x），
∴当x=-

400

2×(-2)

=100时，S有最大值，
故x=100时，S有最大值；
（2）跑道的外圈长主要是半圆的直径在变大，矩形的长为100米保持不变，
故L=2π（

100

π

+2×6）+200=（400+24π）米，
∴跑道的外圈的长为（400+24π）米．

点评：本题考查了二次函数的实际应用，考查了二次函数对称轴的求解，考查了圆周长和矩形周长的求解，本题中求得抛物线的对称轴是解题的关键．