Question

如图1，已知AD∥CB，AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∠D=40°，
试求：
（1）∠PCB的度数；
（2）若∠B=36°，试求∠P的度数．
（3）在图2中，若AD与CB不平行，∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求∠P的度数．

Answer 1

分析：（1）首先利用平行线的性质求出∠DCB=40°，再根据角平分线的性质即可求出∠PCB的度数；
（2）由（1）可知∠PCB=∠PCD=20°，若∠B=36°，则∠DAP=∠PAB=18°，再利用三角形的内角和即可求出∠P的度数．
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数．

解答：解：（1）∵AD∥CB，
∴∠D=∠DCB=40°，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCB=

1

2

∠BCD=20°；

（2）∵∠PCB=∠PCD=20°，
∵AP平分∠DAB，∠B=36°，
∴∠DAP=∠PAB=18°，
∴∠P=180°-（180°-40°-18°）-20°=38°；

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
由①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，
又∠D=40°，∠B=36°，
∴2∠P=40°+36°=76°，
∴∠P=38°．

点评：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题．