【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于D,AE平分∠BAD,交BC于E,在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使得BM=2DE,连接ME
①求证:ME⊥BC;
②求∠EMC的度数.
【答案】证明:(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵FC⊥BC,
∴∠ACF+∠ACB=90°,
∴∠ACF=45°=∠ABE.
∵∠BAC=90°,FA⊥AE,
∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF.
(2)①证明:过点E作EQ⊥AB于点Q,如图所示.
∵AE平分∠BAD,
∴∠QAE=∠DAE,
在△AEQ和△AED中,
∴△AEQ≌△AED(AAS),
∴QE=DE.
∵∠BQE=90°,∠QBE=45°,
∴∠BEQ=45°,
∴BQ=QE,
又∵BM=2DE=QE,
∴QM=QE,
∴∠QEM=∠QME==45°,
∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°,
∴ME⊥BC.
②解:设DE=a,则BM=2a.
∵△BEM为等腰直角三角形,
∴BE=EM=BM=a,
∴BD=BE+DE=(+1)a.
∵△ABC为等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴AB=BD=×(+1)a=(2+)a,
∵BM=2a,
∴AM=(2+)a﹣2a=a,
∴AM=EM.
在Rt△MAC和Rt△MEC中,,
∴Rt△MAC≌Rt△MEC(HL),
∴∠EMC=∠AMC,
又∵∠BME=45°,
∴∠EMC=(180°﹣45°)=67.5°.
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=45°,由FC⊥BC可知∠ACF=45°,从而得出∠ABE=∠ACF;由∠BAE、∠CAF均为∠EAC的余角可得出∠BAE=∠CAF,结合AB=AC即可得出△ABE≌△ACF,根据全等三角形的性质即可得出结论;
(2)①过点E作EQ⊥AB于点Q,由△AEQ≌△AED可得出QE=DE;根据∠BQE=90°和∠QBE=45°可得出∠BEQ=45°、BQ=QE,再由BE=2DE=2QE即可得出∠QEC=45°,由此可得出∠BEM=90°,即ME⊥BC;②设DE=a,则BM=2a,根据等腰直角三角形的性质可用含a的代数式表示AB和BD,由边与边的关系可得出AM=ME,结合MC=MC可证得Rt△MAC≌Rt△MEC,即∠EMC=∠AMC,再根据角与角的关系即可得出结论.
【考点精析】利用等腰直角三角形对题目进行判断即可得到答案,需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠CDB=2∠ABD,∠ABC=105°,∠A=∠C=45°.
(1)求∠ABD;
(2)求证:CD=AB;
(3)如图2,过点C作CF⊥BD于点E,交AB于点F,若AB=3 , 则BF+BE等于多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某高中的篮球队球员中,一、二年级的成员共有8人,三年级的成员有3人,一、二年级的成员身高(单位:厘米)如下:
172,172,174,174,176,176,178,178.
若队中所有成员的平均身高为178厘米,则队中三年级成员的平均身高为( )
A. 178 B. 181 C. 183 D. 186
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30,点P和点Q分别同时从点A和点O出发,以每秒2个单位长度,每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,则P、Q两点对应的有理数分别是;PQ=;
(2)点C是数轴上点B左侧一点,其对应的数是x,且CB=2CA,求x的值;
(3)在点P和点Q出发的同时,点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发,开始向左运动,遇到点Q后立即返回向右运动,遇到点P后立即返回向左运动,与点Q相遇后再立即返回,如此往返,直到P、Q两点相遇时,点R停止运动,求点R运动的路程一共是多少个单位长度?点R停止的位置所对应的数是多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.A、B、C三点在格点上.
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1 , 并写出点C1的坐标;
(2)在y轴上找点D,使得AD+BD最小,作出点D并写出点D的坐标 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某学校把学生的期中测试、期末测试两项成绩分别按40%,60%的比例计入学期总成绩,小明的期中测试成绩为81分,若他的学期总成绩不低于90分,则小明的期末测试成绩至少是________分.
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