Question

如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF=（AB+AC）．

Answer 1

证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BM=CM，
∴CF：BN=CM：BM，∠CFM=∠N，
∴CF=BN，
又∵AD∥ME，AD平分∠BAC，
∴∠CFM=∠DAC=∠E，
∴∠E=∠N，
∴△BEN是等腰三角形，
∴BE=BN=CF，
∵∠EFA=∠CFM，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC，
即BE=CF=（AB+AC）．
分析：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，根据平行线分线段成比例定理可得CF=BN，根据两直线平行，内错角相等可得∠CFM=∠N，再根据平行线的性质与角平分线的定义求出∠CFM=∠DAC=∠E，从而得到∠E=∠N，然后证明得到△BEN是等腰三角形，再根据平行线的性质求出∠E=∠EFA，根据等角对等边的性质求出AE=AF，然后列式整理即可得证．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，两直线平行，同位角相等的性质，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．