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(2006•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,4).
(Ⅰ)试用含a的代数式分别表示b,c;
(Ⅱ)若直线y=kx+4(k≠0)与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F,且,其中O为坐标原点,试用含a的代数式表示k;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若线段EF的长m满足3≤m≤3,试确定a的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)根据抛物线的顶点坐标,可用顶点式二次函数通式来表示出抛物线的解析式,展开后即可得出b、c的表达式;
(Ⅱ)可先联立直线与抛物线的解析式,可得出一个关于x的一元二次方程,那么这个方程的解即为E、F点的横坐标,那么可根据△ODE和△OEF的面积比以及韦达定理来求k的表达式;
(Ⅲ)可根据E、F的坐标,运用坐标系中两点的距离公式表示出m,然后根据韦达定理和m的取值范围来求出a的取值范围.
解答:解:(I)由已知,可设抛物线的顶点式为y=a(x-2)2+4(a≠0),
即y=ax2-4ax+4a+4.
∴b=-4a,c=4a+4;
(II)设E(x1,y1),F(x2,y2),
由方程组消去y,
得ax2-(4a+k)x+4a=0  (*),
∴x1+x2=①,
x1•x2=4 ②,
又∵



即|x2|=4|x1|,
由②,知x1与x2同号,
∴x2=4x1③,
由②、③,
得x1=1,x2=4;x1=-1,x2=-4,
将上面数值代入①,
=±5,
解得k=a或k=-9a,
经验证,方程(*)的判别式△>0成立,
∴k=a或k=-9a;
(III)∵m2=(x2-x12+(y2-y12
而(x2-x12=9,
由y1=kx1+4,y2=kx2+4,
得(y2-y12=k2(x2-x12=9k2
∴m2=9(1+k2),
即m=3
由已知3≤m≤3

即1≤k2≤4,
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1,
当k=a时,有1≤a≤2或-2≤a≤-1,
当k=-9a时,有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1,
即-≤a≤-≤a≤
点评:本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系,以及一元二次方根与系数的关系等知识点.
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