Question

【题目】已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）

Answer 1

【答案】①③④⑤．

【解析】

①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.

①∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°

∴∠ACE＝60°

∴∠ACD＝∠BCE＝120°

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴AD＝BE；

②∵△ACD≌△BCE

∴∠CAD＝∠CBE

在△ACN和△BCM中

∴△ACN≌△BCM(ASA)

∴AN＝BM；

③∵∠CAD+∠CDA＝60°

而∠CAD＝∠CBE

∴∠CBE+∠CDA＝60°

∴∠BPD＝120°

∴∠APM＝60°；

④∵△ACN≌△BCM

∴CN＝BM

而∠MCN＝60°

∴△CMN为等边三角形；

⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图

∵△ACD≌△BCE

∴CQ＝CH

∴CP平分∠BPD.

故答案为：①③④⑤．