Question

如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，∠A=∠B=30°，圆的半径R．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：
连接OD，
∵OA=OD，∠A=∠B=30°，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°，
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B=30°，∠ODB=90°，OD=R，
∴OB=2R，
由勾股定理得：BD=R，
∴图中阴影部分的面积是：S_△BDO-S_扇形DOC=×R×R-=R²，
答：图中阴影部分的面积是R²．
分析：（1）连接OD，求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出OB、BD、求出△BDO的面积和扇形DOC的面积，即可求出答案．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，扇形的面积的应用，解（1）小题关键是求出∠ODB=90°，解（2）小题关键是求出△BDO和扇形DOC的面积，题目比较好．