Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．

E，F分别为AB，CD的中点，

∴BE=AB，DF=CD，

∴BE=BF，

∴四边形DEBF是平行四边形

在△ABD中，E是AB的中点，

∴AE=BE=AB=AD，

而∠DAB=60°，

∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，

故DE=BE．

∴平行四边形DEBF是菱形．

（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB，

∴四边形AGBD是平行四边形．

由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，

∴∠ADE=∠DEA=60°，

∠EDB=∠DBE=30°．

故∠ADB=90°．

∴平行四边形AGBD是矩形．

【解析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；

（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．