Question

23、已知：抛物线y=-x²+（2m+2）x-（m²+4m-3）
（1）抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）当m为不小于零的整数，且抛物线与x轴的两个交点是整数点时，求此抛物线的解析式；
（3）若设（2）中的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点中右侧的交点为B，M为y轴上一点，且MA=MB，求M的坐标．

Answer 1

分析：（1）抛物线与x轴有两个交点，可令函数值y=0，则所得方程的△＞0，由此可求出m的取值范围；
（2）已知m为不小于零的整数，结合（1）的m的取值范围，可求出m的值，即可确定抛物线的解析式，然后根据“抛物线与x轴的两个交点是整数点”，将不合题意的抛物线解析式舍去；
（3）根据（2）的抛物线可求出A点的坐标，设出M点坐标，然后表示出MA、MB的长，根据MA=MB，即可求出M的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac＞0
即：（2m+2）²-4×（-1）×[-（m²+4m-3）]＞0
解得，m＜2（2分）

（2）∵m为不小于零的整数，
∴m=0或m=1（3分）
当m=0时，y=-x²+2x+3与x轴的交点是（-1，0），（3，0）；（4分）
当m=1时，y=-x²+4x-2与x轴的交点不是整数点，舍去；（5分）
综上所述这个二次函数的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）设M（0，y），连接MA，MB，
过点A做AC⊥y轴，垂足为C；
∵MA=MB
∴AC²+CM²=OM²+OB²
即：1+（4-y）²=y²+3²（6分）
解得，y=1（7分）
∴M（0，1）．（8分）

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数解析式的确定、勾股定理等知识的综合应用．