Question

点P是x轴正半轴上的一个动点.过点 P作x轴的垂线PA 交双曲线y=于点A，连接 OA.   

(1)如图(1)，当点P在x轴的正半轴上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变.    请求出 Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由.    
(2)如图(2)，在x轴上的点P 的右侧有一点D，过点 D作x轴的垂线交双曲线y=-于点B，连接BO， 交AP于点C. 设△AOP的面积为 S₁, 梯形BCPD的面积为 S₂，则S₁ 与S₂的大小关系是
S₁（    ）S₂.(选填“>”，“<“=”)
(3)如图(3)，AO的延长线与双曲线y=的另一个交点是点F，FH⊥x轴.垂足为 H，连接AH，PF， 试证明四边形APFH的面积为一常数.

Answer 1

解：(1)S_Rt△AOP=OP·AP，设P点坐标为 (x，y)，则y=，即xy=1，
∴S_△AOP =xy=.
故当 P在x轴的正半轴上运动时，Rt△AOP的面积不变，总等于.
(2)由(1)知=，而＜，∴
(3)因为A、F两点关于原点O对称，FH轴，易知OP=OH，所以四边形 APFH 是平行四边形，其面积为的 4倍，即为己故四边形APFH 的面积为一常数.