Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函数的图象经过A，B，C三点，把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组，就可以求出函数的解析式；
（2）E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，这两个三角形都是直角三角形，因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论．△AOC的三边已知，△BDE中，BD=m-2，而DE=-m．根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出m的值；
（3）四边形ABEF是平行四边形，因而EF=AB，且这两个点的纵坐标相同，E点的纵坐标是m，把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标，则EF的长就可以求出．根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程，解方程就可以求出m的值．若m的值存在，就可以求出四边形的面积．

解答：解：（1）根据题意，得

a+b+c=0 4a+2b+c=0 c=-2

解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．（2分）

（2）当△EDB∽△AOC时，
得

AO

ED

=

CO

BD

或

AO

BD

=

CO

ED

，
∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
当

AO

ED

=

CO

BD

时，得

1

ED

=

2

m-2

，
∴ED=

m-2

2

，
∵点E在第四象限，
∴E1(m，

2-m

2

)．（4分）
当

AO

BD

=

CO

ED

时，得

1

m-2

=

2

ED

，
∴ED=2m-4，
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）．（6分）

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为(m，

2-m

2

)时，点F₁的坐标为（m-1，

2-m

2

），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴

2-m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=

7

2

，m=2（舍去），
∴F1(

5

2

，-

3

4

)，
∴S_{平行四边形ABEF}=1×

3

4

=

3

4

．（9分）
当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），
∵点F₂在抛物线的图象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，
∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6），
∴S_{平行四边形ABEF}=1×6=6．（12分）
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的判定方法，是一个存在性问题，在中考中经常出现．