Question

（2012•怀化）如图，抛物线m：y=-

1

4

（x+h）²+k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，

25

4

），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本问涉及抛物线的旋转变换，首先求出B点坐标，再由点D、M关于点B成中心对称，求出D点的坐标，从而得到抛物线n的解析式；注意由于开口方向相反，两个抛物线的a值也相反；
（2）本问可依次确定S的关系式、自变量x的取值范围，最后求出最大值．注意：①欲求S的关系式，首先需要用待定系数法求出直线DE的解析式；②求得关系式S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

后确定最大值时，不能简单套用“当x=9时，最大值为…”，这样就错了，因为x=9不在自变量的取值范围内；
（3）本问结论：直线CM与⊙G相切．结合题意，欲证明直线CM与⊙G相切，需要完成两个步骤：①证明点C在⊙G上，②证明CM垂直于半径GC．

解答：解：（1）依题意，抛物线m的解析式为：y=-

1

4

（x-3）²+

25

4

=-

1

4

（x-8）（x+2），
∴A（-2，0），B（8，0）．
由旋转性质可知，点D与点M（3，

25

4

）关于点B（8，0）成中心对称，
∴D（13，-

25

4

），
∴抛物线n的解析式为：y=

1

4

（x-13）²-

25

4

．

（2）∵抛物线n：y=

1

4

（x-13）²-

25

4

=

1

4

（x-8）（x-18），∴E点坐标为（18，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，则有：

18k+b=0 13k+b=- 25 4

，解得k=

5

4

，b=-

45

2

，
∴直线DE的解析式为：y=

5

4

x-

45

2

．
如题图所示，S=

1

2

PF•OF=

1

2

x•（-y）=-

1

2

x•（

5

4

x-

45

2

）=-

5

8

（x-9）²+

405

8

；
∵点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），∴13＜x＜18；
∴S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

（13＜x＜18），
可见该抛物线开口向下，对称轴为x=9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，故S在13＜x＜18范围内没有最大值．
所以S与x的函数关系式为S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

，自变量取值范围是13＜x＜18，S没有最大值．

（3）结论：直线CM与⊙G相切．理由如下：
∵抛物线m的解析式为：y=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，令x=0，解得y=4，∴C（0，4）．
在Rt△COG中，由勾股定理得：CG=

OG2+OC2

=

32+42

=5，
又∵⊙G半径为5，∴点C在⊙G上．
如右图所示，依题意作出⊙G，连接CG、CM、MG，过点C作CH⊥MG于点H，则CH=3，HG=4，MH=

25

4

-4=

9

4

，
∵

CH

HG

=

MH

CH

=

3

4

，CH⊥MG，
∴△CHG∽△MHC，∴∠MCH=∠CGH；
又∠HCG+∠CGH=90°，∴∠HCG+∠MCH=90°，即GC⊥MC．
（注：此处亦可用勾股定理的逆定理证明△MCG为直角三角形）
综上所述，点C在⊙G上，且满足GC⊥MC，
∴直线CM与与⊙G相切．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、图形变换、极值、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及圆与直线的位置关系等知识点，有一定的难度．第（2）问中，考查二次函数在指定区间上的极值，这是本题的一个易错点，需要引起注意．