Question

6．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB的中点连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O直径为6，AC的长为2，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）

Answer 1

分析 （1）连接 AB，BC，根据弧、弦之间的关系定理得到CA=CB，根据直角三角形的判定定理得到∠ABD=90°，证明结论；
（2）根据勾股定理求出EC的长，求出△AEC的面积，根据圆的面积公式求出圆的面积，结合题意计算即可．

解答 解：（1）如图，连接 AB，BC，
∵点 C 是劣弧 AB 的中点，
∴$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，
∴CA=CB．
又∵CD=CA，
∴CB=CD=CA．
在△ABD中，
∵$CB=\frac{1}{2}AD$，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE 是⊙O 的直径；
（2）如图，由（1）可知，AE 是⊙O 的直径，
∴∠ACE=90°，
∵⊙O 的直径为6，AC=2，
∴⊙O 的面积为9π，
在 Rt△ACE 中，∠ACE=90°，
由勾股定理，得CE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S_△AEC=$\frac{1}{2}$×AC×CE=4$\sqrt{2}$，
∴阴影部分的面积之和为：$\frac{9}{2}π$-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、勾股定理以及扇形面积的计算，掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题的关键．