Question

16．如图，点A（0，3），B（4，0），以AB为边作正方形ABCD，点F是射线OB上一动点，过点F作EF⊥x轴交正方形ABCD于P，Q两点，设OF=x，△APQ的面积为y，下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：当点P在AD上时，过Q作QG⊥y轴与G，则QG=OF=x，求得△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×PQ×OF=$\frac{25}{32}{x}^{2}$（0≤x≤3）；当点P在CD上，点Q在AB上时，求得△APQ的面积y=$\frac{25}{8}$x（3＜x≤4）；当点Q在BC上时，BF=OF-OB=x-4，求得△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×PQ×OF=-$\frac{25}{24}{x}^{2}$+$\frac{175}{24}$x（4＜x≤7），据此可得函数图象．

解答 解：∵点A（0，3），B（4，0），
∴Rt△AOB中，AB=5，
如图所示，当点P在AD上时，
过Q作QG⊥y轴与G，则QG=OF=x，
由QG∥OB可得，△AGQ∽△AOB，
∴AQ=$\frac{5}{4}$OG=$\frac{5}{4}$x，
∵∠GAQ=∠AQP，∠AGQ=∠QAP=90°，
∴△AGQ∽△QAP，
∴AQ²=QG×PQ，
∴PQ=$\frac{（\frac{5}{4}x）^{2}}{x}$=$\frac{25}{16}$x，
∴△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×PQ×OF=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{16}$x×x=$\frac{25}{32}{x}^{2}$（0≤x≤3），
当点P在CD上，点Q在AB上时，由CD∥AB可得，PQ的长不变，易得PQ为$\frac{25}{4}$，
故△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$x=$\frac{25}{8}$x（3＜x≤4），
如图所示，当点Q在BC上时，BF=OF-OB=x-4，
根据△AOB∽△BFQ可得，BQ=$\frac{5}{3}$（x-4），
∴CQ=5-$\frac{5}{3}$（x-4），
根据△PCQ∽△AOB可得，PQ=$\frac{5}{4}$CQ=$\frac{5}{4}$[5-$\frac{5}{3}$（x-4）]，
∴△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×PQ×OF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$[5-$\frac{5}{3}$（x-4）]×x=-$\frac{25}{24}{x}^{2}$+$\frac{175}{24}$x（4＜x≤7），
综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的抛物线；
当3＜x≤4时，函数图象是线段；
当4＜x≤7时，函数图象是开口向下的抛物线，
故选：C．

点评 本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时注意：二次函数的图象是抛物线，而一次函数的图象是直线．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．