Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．

Answer 1

解：D是AC的黄金分割点．理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC=36°．
∴在△BDC中，∠BDC=180°-∠2-∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．
∵∠A=∠1，
∴AD=BC．
∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
又∵AB=AC，AD=BC=BD，
∴，
∴AD²=AC•CD，即D是AC的黄金分割点．
分析：首先根据等腰三角形的性质：等边对等角，即可求得∠ABC与∠C的度数，从而证得△ABD和△BCD都是等腰三角形，以及△ABC∽△BDC，利用相似三角形的对应边的比相等，以及等量代换，即可得到：，即AD²=AC•CD，即D是AC的黄金分割点．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，黄金分割点的定义，正确证明△ABC∽△BDC是关键．